المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : البحث عن الانماط والعلاقات



haidar
12-25-2005, 12:35 PM
البحث عن الأنماط والعلاقات



المقدمة:


الرياضيات هي علم استكشافي يبحث جميع أنواع الأنماط: الأنماط التي تحصل في الطبيعة، الأنماط التي يخترعها العقل البشري والأنماط التي تتولد عن أنماط أخرى ولكي ينمو الأطفال رياضياً فيجب أن يتعرضوا لأنواع مختلفة من الأنماط التي تتناسب مع حياتهم والتي يشاهدوا من خلالها التنوع والانتظام والارتباطات الداخلية (Steen 1995, p.8).
وقد لاحظت في هذا الكتاب أنماطا متعددة: أنماطا في الرياضيات، أنماطا في تعلم الأطفال للرياضيات وأنماطا لطرق التدريس. وسنتعرض في هذه الوحدة للأنماط والعلاقات العددية وغير العددية في الرياضيات وسنركز في الجزء الأول على تمييز ووصف وتوسيع وإيجاد الأنماط ومن ثم تمثيل ووصف العلاقات التي تقتضيها معايير المنهاج والتقييم للرياضيات المدرسية للصفوف (K-4) و(8-5). ونركز في الجزء الثاني على نظرية الأعداد من أجل البحث عن الأنماط والعلاقات الخاصة في الأعداد الكلية.

.
المقدمة


الأنماط والعلاقات:
نصادف طوال حياتيا اليومية الأنماط المختلفة: في الموسيقى وصور الفيديو، في تصميم الزخارف والهندسة الطبيعية، في إشارات المرور وفي الأشكال التي نصنعها. وتمثل قدرتنا على تمييز وتفسير وخلق الأنماط المفتاح للكون حولنا (Senegal, 1990, p.139 ).
إذا أخذنا الأنماط برؤية واسعة فإنها نفتح أمامنا مجالات متعددة لعملية التعليم فالأنماط تزود الأطفال بطريقة لربط أفكار رياضية متعددة ولاستخدام الرياضيات بطرق مختلفة. ومن الممكن أن نبني على خلفية الطلاب في وصف الأنماط والعلاقات باللغة الدارجة اليومية لمساعدتهم على تمثيل هذه العلاقات والأنماط بالرموز الرياضية. فمثلاً إذا وصف الأطفال النمط الكلامي "كل حد يزيد عن الحد السابق له باثنين" فبإمكانهم وصف الحد النوني بـِِِ )ن+2( وبذلك تصبح الأنماط والعلاقات طريق طبيعي يؤدي لفهم الاقتران والجبر، وكلما ساعدت طلابك على وصف الأنماط والعلاقات باستخدام الصور والكلمات والجداول والمتغيرات كلما أصبحت معلوماتهم الرياضية أكثر قوة .
الأنماط المتكررة
قد تكون الأنماط المتكررة سهلة أحياناً ولكنها تكون محيرة أحياناً أخرى. ويجب أن نبدأ مع الأطفال بأنماط يستطيعون استيعابها فالنمط الذي يتكون أساسه ( الجزء المتكرر فيه) من عنصر أو عنصرين والذي يسمى بالنمط الخطي المتكرر يشكل بداية حسنة مع الأطفال. وقبل أن تبدأ بأنماط صورية يمكن البدء باستخدام بعض الأفكار الموضحة في (الشكل 15-1 ) والتي تعرف بالنمط (ab) وذلك بان تستخدم الأطفال أنفسهم كأنماط (الأول يجلس والثاني يقف والثالث يجلس والرابع يقف... وهكذا)، وبعد أن ينفذ عدداً منهم ما تقول يمكن أن تسأل: "ماذا يجب أن يعمل الطالب التالي ؟" وستساعد هذه الطريقة بعض الأطفال على اكتشاف النمط سماعياً.
ولكون اللون يعتبر صفة بصرية واضحة فيمكن استخدام الألوان لبناء نمط آخر بترتيب مكعبات صغيرة: احمر اصفر احمر اصفر..... كما يمكن استخدام أشكال هندسية أو أصوات أو أرقام أو أي أنماط أخرى وعندما يألف الأطفال هذا النوع من الأنماط فيمكن توسيع العملية لأنماط أصعب أو جعل الطلاب يعملوا أنماطا بأنفسهم
هناك أنماط خطية متكررة عديدة يكون فيها الجزء المتكرر مختلف عن (ab).
فمثلاً كيف تصف الأساس (الجزء المتكرر) في الأنماط التالية؟
A. ؟؟@؟؟@؟؟@.....
B. #*#**#*#**#*#**.....
C. @$@$$@$@$$@$@$$.....
يمكن وصف الأساس للنمط الأول على أنه abb ؛ كما يمكن وصف الأساس للنمط الثاني بـِ ababb مع أن بعض الطلاب قد يرونه مكوناً من نمطين ab و abb يتكرران بهذا الترتيب. ويمكن وصف النمط الثالث بطريقة مشابهة للثاني.



والمهم في كل هذا أن يصف الطلاب النمط بأي طريقة وكيف يشبه أو يختلف عن أنماط أخرى ويمكن أن يعرض للمعلم يومياً أنماطاً خطية متكررة مختلفة لكن يجب عدم تشابه الأنماط الهندسية وتعطي الأنشطة 15- 1 و15- 2 نشاطات لدمج المفاهيم الهندسية مع الأنماط. ويجب البدء دائماً بالأمثلة السهلة فقد يكون الجزء المتكرر من واحد الى أربعة أجزاء أو ما يزيد عن ذلك أكثر صعوبة بالنسبة للأطفال
والأنماط المتكررة قد لا تكون خطية فقد تكون ذات بعدين أو ثلاثة أبعاد وتعتبر التقويم(calendar) نمط ذو بعدين وموجود عادة في كل فصل ويمكن إيجاد العلاقة بين تاريخ أي يوم في الشهر مع تاريخ ذلك اليوم في الأسبوع التالي أو السابق( أكثر سبعة أو اقل بسبعة) كما يمكن عمل مربع حول أي تاريخ و استنتاج العلاقة بين الأرقام الممثلة للإضلاع ومجموعها وعلاقته بالرقم المركزي فالمجموع مثلاً يعادل تسعة أمثال الرقم الأصلي ويستطيع الطلاب الأكبر سناً إثبات ذلك باستخدام الحروف لتعريف الأرقام التسعة الممثلة للأضلاع بدلالة الرقم الأوسط وتعتبر هذه النشاطات باستخدام التقويم طريقة جميلة لتسهيل الدخول لموضوع الجبر.
الأنماط المتنامية:
يمكن أن تكون هذه الأنماط خطية مثل (ababbabbbabbbb) حيث ينمو احد الطرفين فقط أو مثل (FGFFGGFFFGGG) حيث ينمو كلا الطرفين ويمكن أن تكون ذات بعددين كما في الشكل 15-4
العلاقات:
تتوفر العلاقات بكثرة في الرياضيات وسيكون التركيز هنا عن العلاقات ذوات الأرقام أو المتغيرات فيمكن أن نسأل الأطفال عن العلاقة بين عدد الأولاد في المجموعة وعدد الأيدي وإذا بدأ الطلاب بعمليات الضرب بالرموز فيمكن أن تعرض لهم الحد العام هنا بأنه يساوي 2xب حيث تمثل ب عدد الأولاد وتعمل جدول بسيط يمثل عدد الأولاد وعدد الأيدي كي يكتشف الطلاب العلاقة.



مثال آخر هو عدد الطالبات وعدد المثلثات المكون باستخدام الخيط كما في الشكل التالي
وهي مختلفة عن الأولى حيث أنها تعتبر 3 إلى 1 وليس 1 إلى 2 كما في المثال السابق.
وقد يجد بعض الأطفال صعوبة في وصف الحد العام لأن ذلك يتطلب القسمة وليس الضرب وهنا يجب على المعلم أن يتقدم ببطء ويضع المعلومات في قائمة ليساعد الطلاب على استنتاج الحد العام بسهولة




ويمكن إنشاء العلاقة باستخدام "آلة الاقتران" التي تعطي مخرجة لكل مدخلة وهنا يجب الطلب من الأطفال إعطاء المخرجة إذا عرفت المدخلة أو العكس والمثال الموجود (ص 324) بمثل بالعلاقة
(ن ¬ 2 ن + 1 ) لكن إذا أعطيت الطلاب مخرجة زوجية مثل 64 فستكون الإجابات مختلفة فالبعض سيقول إن ذلك مستحيل والبعض الآخر سيعطي مدخلة كسرية (½31 )
وقبل الحديث عن الحد العام لا بد من وصف المخرجات بدلالة المدخلات أو وصف ماذا تعمل آلة الاقتران بالكلمات والأرقام وبعد ذلك يمكن تجريب الرموز المجردة
وقد يستطيع الطلاب التعميم بالقول " اجمع العدد الأول مرتين وأضف واحداً" أو" ضاعف العدد الأول وأضف واحداً" وعندما يصلوا هذه المرحلة يمكن عرض طريقة أخرى للكتابة ن+ن+1 أو (2xن) +1
وهناك طريقة ممتعة مرحة لتمثيل العلاقات من خلال الألغاز العددية كالموضح في شكل (15-1). ففي المرحلة الأولى يمكن للأطفال حل اللغز بأرقام مختلفة وبعد تجريب هذا اللغز عبر أرقام مختارة من الطلاب أنفسهم يكن الانتقال إلى الخطوة التالية بحيث يمثل الطلاب الخطوات باستخدام المواد المحسوسة وتوضح هذه الخطوة عما إذا طور الأطفال المفاهيم المتعلقة بهذه العملية فإذا اكتشفت أن بعض الأطفال لا يستطيعون تمثيل النموذج " اضرب بالعدد2" أو" اقسم العدد على2" فلا بد من تعزيز هذا المعنى وعندما يبدأ الأطفال بنمذجة العلاقة فأنهم سيجدون المتعة في وصف الخطوات جبريا.ً ويمكن ملاحظة المفاهيم التي اكتسبوها في هذه المرحلة وسيلاحظون بسهولة أن 2x(ن+4) هو نفسه 2 xن+8 لأنهما طريقتان لوصف الصورة نفسها.



نظرية الأعداد :
نظرية الأعداد هي فرع من الرياضيات تتعلق بشكل أساسي بالأعداد الطبيعية. وتعتبرالأعداد الزوجية والفردية والأولية وتحليل العدد الى عوامله الأولية والأنماط العددية والمضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأكبر من المواضيع التي يحتويها منهاج المدارس الابتدائية والمتوسطة.
أولاً: لماذا يتم تدريس نظرية الأعداد؟:
هناك خمسة أسباب على الأقل لاحتواء المنهاج المدرسي في المرحلة الابتدائية على نظرية الأعداد
1- الافتتان( الإعجاب) بالأعداد والأنماط العددية:
منذ الحضارات القديمة والإنسان معجب بشدة بالأعداد والأنماط العددية وقد ظن الأقدمون بان الأرقام لها صفات غامضة محيرة وقد درس علم ألعداده ( علم الأرقام التنجيمية السحرية) بعمق من قبل بعض الناس بينما أعجب آخرون بالأنماط العددية كالتي تحصل في خريطة مثلث المائة(15-3) ص325 وسيفتتن الطلاب إذا أعطوا الفرصة الكافية بالأعداد الواردة في هذه الخريطة وخصائصها غير العادية لذلك فإن احد الأسباب لدراسة نظرية الأعداد هو إيقاظ الشعور بالإعجاب للأعداد في المحيط الذي يتطلب النظر للعلاقات وحل المسائل
2- الفرصة لاكتشاف الرياضيات:
بعض الفرضيات في نظرية الأعداد سهلة في النص صعبة في الإثبات فمثلاً فرضية جولدباخ والتي تنص على أن "أي عدد زوجي اكبر من 2 يمكن كتابته كحاصل جمع عددين أوليين" سهلة الفهم حتى في الصف الرابع أو الخامس ويمكن للأطفال اختبار هذه الفرضية لأول مائة من الإعداد الزوجية ثم اختبار فرضيات أخرى كالموجودة في النشاط( 15-4ص326) وعمل سجل للفرضيات غير الصحيحة والصحيحة مع التشديد هنا على أن طريقة التجريب هذه لا تعتبر برهاناً رياضياً للفرضية لكنها صحيحة للأرقام المجربة فقط. وفي الحقيقة فأن فرضية جولدباح لم تثبت حتى الآن وسيشعر الطلاب بالسعادة لاكتشافهم أنماط في مثلث المائة أو فرضيات أو خاصية القسمة حتى لو لم تكن هذه الاكتشافات مهمة وذات بال .
3- التوسع والممارسة:
يحتاج بعض المعلمين للمساعدة على العمل الفردي في بعض المواضيع فإذا أراد المعلم مثلاً مراجعة الضرب والقسمة لبعض الطلاب بينما البعض الآخر لا يحتاج لمثل هذه المراجعة فإن نظرية الأعداد توفر توسعاً لهذا البعض بإعطائها نشاطاً إضافيا (النشاط 15-5 الأعداد التامة والزائدة والناقصة) بينما يراجع المادة الأصلية مع الطلاب متدني المستوى .
4- الاستجمام :
توفر نظرية الأعداد نشاطات من نوع الألغاز التي يجد فيها الأطفال نوعاً من الاستجمام وقد لا يجد بعض الطلاب المتعة في هذه الألغاز ولكن إذا ابتدأ المعلم بالغاز السهلة فقد يستمتع الطلاب بهذا النوع من النشاط. وأثناء عملية حل الألغاز يمارس الطلاب بعض المهارات ويطوروا الإحساس بالأرقام واستعمال استراتيجيات حل المسألة وفي المربع السحري( شكل 15- 5) سيتعلم الأطفال فوراً أن الرقمين الكبيرين لا يمكن أن يكونا في صف واحد أو قطر واحد. ويمكن عمل هذا النشاط بالورقة والقلم ولكن استخدام البطاقات أفضل لان هذه البطاقات تجعل النشاط اقرب للألغاز من ناحية ويوفر الوقت المستهلك في مسح المحاولات الخاطئة من ناحيةٍ أخرى. ولكن مساوئ استخدام البطاقات أن الطفل لا يسجل محاولاته السابقة وبذلك فقد يعيد نفس المحاولات مرة أخرى.
5- استخدام نظرية الأعداد في مواضيع رياضية أخرى .
يمكن استخدام نظرية الإعداد للتدريب على العمليات الأربعة الأساسية وفي حل المسائل وفي بعض المواضيع الرياضية الأخرى فمثلاً يمكن استخدام المضاعف المشترك الأصغر لإيجاد المضاعف المشترك للمقامات واستخدام القاسم المشترك الأكبر في تبسيط الكسور كما أن كثيراً من مواضيع نظرية الأعداد تساعد في إجراء والتأكد من الحسابات فمثلاً يمكن استخدام اختبار القسمة كطريقة سريعة لرؤية أن عدداً ما يقسم عدداً آخر .


ثانياً: مواضيع خاصة بنظرية الأعداد:
هناك بعض المهارات المتعلقة بنظرية الأعداد متوقعة وجودها عند معظم الطلاب وسنختبر هنا بعض الطرق لتطوير هذه المهارات وكأي مهارة أخرى يجب أن يتم المحافظة عليها بعد أن يتم تطويرها فإذا تعلم الطفل عن معنى العدد الأولى في الصف الرابع ثم تجاهل الموضوع لاحقاً فإن ذلك يؤدي إلى نسيانه، وقد وجد أن 58% فقط من الطلاب في عمر13 سنة استطاعوا اختبار التعريف الصحيح للعدد الأولي (Carpenter et al, 1981).
ومن الأهمية بمكان أن يبقى في الذهن سبب دراسة نظرية الأعداد فإذا كان تعلم الطلاب للتعريفات والقوانين فقط فنكون قد خسرنا القوة الحقيقية لنظرية الأعداد
(1) الأعداد الفردية والزوجية:
يعتبر تصنيف الأعداد إلى فردية وزوجية من أول مواضيع نظرية الأعداد التي يواجهها الطلاب, فعندما يعد الطلاب 2, 4، 6، 8،... فإنه يتعلم أن هناك صفة مختلفة لهذه الأعداد تختلف فيها عن الأعداد الأخرى ألا وهي أنها مضاعفات العدد2.
ويمكن أن يبدأ تعليم الأعداد الفردية والزوجية بعمل نماذج لهذه الأعداد باستخدام القطع المربعة كما يلي: يعطى كل طفل قطع مربعة متساوية (2الى20) ويفترض الأطفال أنهم سيصنعون قطع حلوى عرضها مربعين فإذا استطاع الطالب ترتيب المربعات لتكون مستطيل عرضه مربعان اثنان فإن عدد المربعات زوجي وإلا فإن العدد فردي ويطلب من الطلاب جدوله الأعداد الفردية والزوجية ويجب أن التأكد من أنهم لاحظوا أن كل ثاني عدد هو زوجي وان هذه الأعداد تنتهي بـِ صفر،2، 4، 6 أو 8 ويمكن للطلاب لاحقاً أن يستخدموا نموذج قطع الحلوى لاستقصاء مجموع عددين زوجين أو مجموع عددين فرديين أو حاصل ضرب عدد فردي بعدد زوجي
وكما هو ملاحظ في الشكل 15-6 فإن مجموع عددين فرديين يعطي عدد زوجي وان حاصل ضرب عدد فردي بعدد زوجي هو عدد زوجي ويجب البحث في مواقف يستخدم فيها الأعداد الزوجية والفردية فقد يجد الطلاب مجموع الخمسين عدد فردي الأوائل كما يمكن إيجاد احتمال الحصول على مجموع زوجي عند رمي حجري الزهر عشوائياً وهكذا .
(2) العوامل والأعداد الأولية والتحليل لعوامل أولية
يبدأ الطلاب بتعلم المضاعفات والعوامل من خلال تعلمهم عمليتي القسمة والضرب .
?أ. العوامل:
عند ضرب عددين لإعطاء حاصل ضرب يسمى كل من العددين عاملاً لحاصل الضرب ويمكن للطلاب استكشاف العوامل باستخدام المحسوسات فمثلاً يمكن أن يبدأ باثني عشر جسماً ثم يعيدوا تجمعيها آحاداً وأزواجا وثلاث وأر بعات.. واثني عشر مجموعة . فهناك 12 مجموعة ذات عنصر واحد وستة مجموعات ذات عنصرين وأربعة مجموعات ذات ثلاثة عناصر وثلاثة مجموعات ذات أربعة عناصر ومجموعتين ذات ستة عناصر ومجموعة واحدة ذات اثني عشر عنصراً، لكن اثني عشر جسيماً لا يمكن تجميعها خمسات، سبعات، ثمانيات، تسعات أو عشرات.
وفي النهايةً يمكن الطلب من الأطفال التعبير عن هذه التجميعات كحاصل ضرب
12 = 12x1
12 = 6x2
12 = 4x3
12 = 3x4
12 = 2 x6
12 = 1x12



لاحقاً يجب أن يتمكن الطالب من إيجاد جميع العوامل لعدد ما.
فمثلاً ما هي جميع عوامل 84؟
إن أسهل طريقة للبداية هي محاولة إيجاد بعض الأعداد التي تقسم العدد 84 وليبدأ الطالب بأسهل العوامل. فنحن نعلم أن العدد 1 يقسم 84 لذلك فإن 1 و84 هما عاملان لـِ 84. بعد ذلك نجرب الأعداد 2، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، ... فإذا كان العدد يقسم 84 فإننا سنجد العامل المرافق الآخر ونستمر بهذه الطريقة حتى نحصل على جميع العوامل.













84 ،42 ،28 ،21 ،14 ،12 ، ،11، 10، ،9 ، 8،7 ،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1


ويمكن للطلاب تجريب 8، 9، 10، 11 لكنهم سيكتشفون أن هناك باقي للقسمة في كل حالة.
هناك نشاط(15-6) لعبة نتطلب من الأطفال إيجاد العوامل للأعداد من 2الى 36 وإتباع بعض الاستراتيجيات( يمكن تجريبها مع صديقك ولكن الفوز ليس بالسهولة المتوقعة)
?ب. المضاعفات:
مضاعف عدد معين هو حاصل ضرب ذلك العدد بأي عدد كلي طبيعي ولإيجاد المضاعفات لعدد معين نبدأ بهذا العدد ونولد باقي المضاعفات بضربه بالأعداد الطبيعية 1، 2، 3، 4، ...ويمكن استخدام مواد مختلفة لتوضيح المضاعفات كخط الأعداد، وأعواد المعكرونة ( الطعام) وخريطة المائة. ويجب أن تكون مضاعفات الأعداد من 1الى10 مألوفة للأطفال من خلال حقائق الضرب.
ومفهوم المضاعف ليس صعباً فهو حاصل ضرب ولكنه كلمة جديدة يمكن أن يخلط الطفل بينها وبين كلمات جديدة أخرى مثل العامل أو القاسم وممكن أن يحصل الالتباس إذا سأل المعلم"36 مضاعف لأي عدد" ويقصد المعلم هنا العوامل وعندما يسأل" 4 عامل لأي عدد" ويقصد بها إيجاد مضاعفات العدد 4 . ويجب أن يتمكن الطفل من التفكير باتجاهين فمثلاً يذكر مضاعفات العدد 7 ويجد أيضا الأعداد التي يكون 42 مضاعفاً لها لكن في بداية تعلم المضاعفات والعوامل يجب أن تكون اللغة المستعملة واضحة .
?ج. الأعداد الأولية والمركبة:
يكون العدد الذي يزيد عن 1 أوليا إذا كانت عوامله 1 ونفسه فقط وما عدا ذلك يعتبر العدد مركباً(ليس أوليا) وهناك عدة نماذج مجردة يمكن استخدامها عند تقديم فكرة الأعداد الأولية وبطاقة الدرس 15-1ص329 توضح احد هذه النماذج. ويعد تقديم مفهوم العدد الأولي للطلبة يمكن تطوير التعريف ومن ثم يتوجب عليهم أن يميزوا لعدد الأولي من العدد المركب وهناك عدة استكشافات تركز على الإعداد الأولية مثل منخل ايراستوثينيس ويمكن لأحدنا أن يستقضي عن توائم الأعداد الأولية (أزواج من الأعداد الأولية ناتج طرحهما 2 مثل 11و13 او17و19) أو عن الأعداد الأولية المتعاكسة(مثل79و97) أو لانهائية الأعداد الأولية.
?د. التحليل للعوامل:
تنص النظرية الأساسية في الحساب على أن أي عدد مركب يمكن التعبير عنه كحاصل ضرب أعداد أولية بطريقة واحدة فقط وهناك أنماط وقوانين عديدة في نظرية الأعداد وطرق إيجاد القاسم المشترك الأعلى والمضاعف المشترك الأصغر تعتمد على التعبير عن العدد كحاصل ضرب أعداد الأولية.



كيف نبدأ بإيجاد العوامل الأولية للعدد 3190؟
هناك طريقتان للكتابة العدد كحاصل ضرب أعداد أولية إحداهما طريقة شجرة العوامل




3190





319 11




5 2 29 10


والثانية هي طريقة القسمة ويتم قسمة العدد على عوامله الأولية



3190 2



1595 5
الأعداد الأولية التي تقسم3190
319 11


29 29



والفرق بن الطريقتين أن الخطوة الأولى في شجرة العوامل تتم باختيار أي عاملين للرقم بحيث يكون حاصل ضربهما مساوياً للرقم الأصلي لكن في عملية القسمة لابد من قسمة العدد على عامل أولي في كل خطوة ولكن بغض النظر عن الطريقة المتبعة يجب التأكيد على كتابة العدد كحاصل ضرب أعداد أولية كما يلي: 3190=29x11x5x2.


(3) القاسم المشترك الأعلى والمضاعف المشترك الأصغر:
بعد أن نظرنا إلى عوامل ومضاعفات الأعداد المفردة ننتقل الآن إلى تفحص أزواج من الأعداد لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م م أ) والقاسم المشترك الأعلى (ق م أ) ومن ثم ألإجابة عن السؤالين:
ما هو اكبر عدد يقسم الرقمين بدون باقي؟
ما هو اصغر الأعداد التي تكون مضاعفاً للعددين ؟
ويعتمد استيعاب هذين المفهومين بشكل أساسي على معرفة كيفية إيجاد العوامل والمضاعفات والتمييز بينهما وتتشابه طريقتا إيجاد(ق م أ) و(م م أ) ولذلك يحصل الالتباس عند الأطفال الذين لا يفهمون ما يعملون. وفي الاختبار الوطني الثاني لتقويم الرياضيات اظهر نصف المتقدمين في عمر السابعة عشرة هذا الالتباس وتمكن عدد قليل جداً من المتقدمين في عمر الثالثة عشرة من استيعاب احد المفهومين.
( Carpenter, et al.1981).
وعادة ما يعرض المعلمون(ق م أ) و (م م أ) الواحد تلو الآخر دون استخدامهما في التطبيقات أو أن يعرضوا المفهومين في وقتين مختلفين دون الجمع بينهما ومقارنتهما. وإذا كان لا بد من تدريسهما للأطفال فيجب أن يتم ذلك بطريقة هادفة ذات معنى. وهناك عدة طرق لإيجاد(ق م م) و(م م أ) لكن عادة ما نستخدم طريقة التحليل للعوامل أو طريقة الجدولة أو القائمة علماً بأن الطريقة الثانية هي الأكثر واقعية وما عليك الآن إلا أن تفكر كمعلم عن الأسئلة التي تقولها لطلابك عند تقديم هذين المفهومين.



لإيجاد العامل المشترك الأكبر بطريقة الجدولة نبدأ بكتابة كل عوامل العددين ثم ننظر للعوامل المشتركة وأخيرا نأخذ اكبر هذه العوامل ولإيجاد المضاعف المشترك الأصغر نبدأ بكتابة مضاعفات العددين حتى نجد مضاعفاً مشتركاً ويمكن للأطفال استخدام (م.م. أ) عند إيجاد المضاعف المشترك لمقامات الكسور كما يمكنهم استخدام (ق. م.أ) عند تبسيط الكسور إلا أن المعلم قد يفشل في تعليمهم ذلك فيتم تبسيط الكسور على عدة مراحل بدل استخدام (ق. م. أ) في خطوة واحدة وكذلك قد يجد الأطفال مضاعف مشترك للمقامات بدل إيجاد (م.م.أ) للمقامات ولكن مع استخدام الحاسبات وعدم التركيز على الكسور المعقدة فإن إيجاد (ق.م.أ) أو (م.م.أ) لم يعد مهماً كما كان في السابق .
(4) اختبار قابلية القسمة:
لقد كانت قواعد قابلية القسمة مهمة في السابق أما الآن فإنها تدرس للمتعة فقط وقد يستطيع الأطفال اكتشاف قابلية القسمة على 2 أو5 بأنفسهم من خلال مراقبة أنماط الضرب والقسمة ولكن قواعد القسمة للأرقام الأخرى ليست واضحة لتلك الدرجة وتمثل بطاقة النشاط (15-7) إيجاد قاعدة قابلية القسمة على 3 و 9 بطريقة الاكتشاف الموجه. ومن الأهمية بمكان مناقشة الطلاب بنتائج هذا النشاط وإعطاء أمثلة إضافية إذا لم تكن الطريقة مفهومة. وهذه بعض الأسئلة التي نستطيع طرحها لتوضح هذه العملية: هل تصلح هذه الطريقة للأعداد الكبيرة ؟ هل يصح هذا الاختبار بـ9،3 فقط؟ لماذا صحت هذه الطريقة؟ ويمكن مساعدة الطلاب في الإجابة عن السؤال الأخير بتفحص النموذج في الشكل(15-7) والذي يمثل قسمة 456 على 3.
ويمكن النظر لقواعد قابلية القسمة الأخرى بأسلوب مماثل فقابلية القسمة على 4 تعتمد على خانتي الآحاد والعشرات لان خانة المئات وخانة الآلاف وما بعدهما يقبل القسمة على 4 لكن العشرة لا يمكن قسمتها الى أربعة أجزاء متساوية لذلك فإن قابلية القسمة لعدد ما على4 يعتمد على عدد العشرات والآحاد الموجودة في العدد
(5) أفكار أخرى للبحث والاستقصاء
هناك العديد من المواضيع في نظرية الأعداد يمكن البحث فيها ومنها:
?أ. مثلث باسكال: وهذا المثلث مرتبط بشكل أساسي بنظرية الاحتمالات إلا أن فيه الكثير من الأنماط العددية والموضحة في بطاقة النشاط 15-8.
?ب. ثلاثيات فيثاغورس: وهي عبارة عن ثلاثة أعداد (أ.ب.جـ) بحيث أ2+ب2=جـ2 ومثال ذلك (4، 3، 5 ) وهناك طرق عديدة لإيجاد مثل هذه الثلاثيات ويوجد عدة أنماط لها وتمثل الخريطة في بطاقة النشاط 15-9 طريقة لإيجادها.
?ج. سلسلة فايبوناكي: وهي الأعداد 1،1،2،3،5،8،13،21،.... هل يمكن إعطاء الرقم التالي في هذه السلسلة وهل يمكن إيجاد حدها العام ؟ ويمكن توليد هذه السلسلة باستخدام الحاسوب كما هو موضح في بطاقة النشاط 15- .10
?د. الأنماط العددية في الهندسة: هناك عدة أنماط هندسية تقود الى أنماط عددية كما هو موضح في المثال المعطى بالنشاط 15-11 والسؤال هو: كم عدد المستطيلات في هذا الشكل؟





?ه. المنخل: وأشهرها منخل ايراتوستينز والتي ترتب فيه الأعداد في عشرة أعمدة ويستخدم لتوليد مجموعة الأعداد الأولية ولكن أجمل ما يميز هذا المنخل انه إذا رتبت الأعداد في ستة أعمدة فإن جميع الأعداد الأولية بعد 3،2 ستظهر في العمود الأول والخامس فقط



الاستاذ خالد عزايزه